Question

В прямоугольный трапеции ABCD меньшая боковая сторона AB = 10 см, угол CDА = 45°. Найдите расстояние от вершины С до прямой AD

Answer 1

Назовём расстояние CH. Т.к. AB перпендикулярно AD, и CH перпендикулярно AD то ABCH прямоугольник AB = CH = 10 см

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства прямоугольных трапеций. В частности, мы можем воспользоваться тем фактом, что противоположные боковые стороны прямоугольного трапеция параллельны и равны по длине.

Пусть E - точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда, так как треугольник ACD прямоугольный, то угол ADC также равен 45 градусам. Значит, треугольник ADE также прямоугольный, и мы можем применить теорему Пифагора:

AD^2 = AE^2 + DE^2

Нам нужно найти расстояние от точки C до прямой AD, то есть высоту треугольника ACD, обозначим ее h. Заметим, что треугольники ACD и ADE подобны друг другу, так как у них есть общий угол при вершине A, а угол ADC равен углу ADE. Значит, отношение соответствующих сторон этих треугольников равно:

h / AD = DE / AC

Так как мы знаем длины сторон AB и AD, то можем найти длину стороны AC с помощью теоремы Пифагора:

AC^2 = AD^2 - CD^2 = 100 - 50 = 50

AC = √50 = 5√2

Далее, чтобы найти расстояние DE, заметим, что треугольник ADE равнобедренный (AD = AE), значит, высота AD опущенная на сторону DE является медианой, а значит делит сторону DE пополам. Значит,

DE = AE / 2 = AD / 2 = 25

Теперь можем подставить значения AC и DE в формулу для отношения h / AD:

h / AD = DE / AC = 25 / (5√2) = 5 / √2

Так как угол ADC равен 45 градусам, то треугольник ACD является изоскелесным, и мы можем также вычислить длину стороны CD:

CD = AC = 5√2

Итак, мы нашли, что расстояние от вершины С до прямой AD равно 5/√2 см.