Question

В треугольнике ABC, ∠BCA=45°, а высота BF делит сторону АС на отрезки AF и FC соответственно равные 3 см и 6 см. Найдите площадь треугольника АВС.

Answer 1

Надеюсь, что дано сможете сами написать.

Решение на фотографии.

Answer 2

Пусть сторона АВ треугольника АВС имеет длину b, а сторона ВС имеет длину c. Тогда сторона АС равна b + c.

Так как высота BF является высотой треугольника АВС, то площадь треугольника АВС можно вычислить по формуле S = 1/2 * b * BF, где BF - длина высоты, опущенной на сторону АВ.

Обозначим отрезок AF через x. Тогда FC = b + c - x.

Так как треугольник АВF прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:

BF^2 = AF^2 + AB^2 = x^2 + b^2.

Аналогично, так как треугольник ВFC прямоугольный, то

BF^2 = FC^2 + BC^2 = (b + c - x)^2 + c^2.

Следовательно, x^2 + b^2 = (b + c - x)^2 + c^2.

Раскрывая скобки, получаем:

x^2 + b^2 = b^2 + 2bx + c^2 - 2cx + (b + c - x)^2

Упрощая выражение, получаем:

x^2 = 2bx - 2cx + c^2 - 2bc

x^2 + 2cx - 2bx = c^2 - 2bc

x(x + 2c - 2b) = c^2 - 2bc

x = (c^2 - 2bc) / (2c - 2b)

Значит,

BF^2 = x^2 + b^2 = ((c^2 - 2bc) / (2c - 2b))^2 + b^2

Подставляем значения из условия задачи: b + c = AF + FC = 3 + 6 = 9

BF^2 = ((c^2 - 18c + 54) / (2c - 18))^2 + b^2

Так как ∠BCA = 45°, то треугольник ABC является прямоугольным. Следовательно, AB^2 + BC^2 = AC^2, откуда b^2 + c^2 = (b + c)^2 = 81. Значит, b^2 = 81 - c^2.

Тогда

BF^2 = ((c^2 - 18c + 54) / (2c - 18))^2 + (81 - c^2)

Упрощая выражение, получаем:

BF^2 = (9 - c)^2

BF = 9 - c

Теперь мы знаем длину высоты BF. Используя формулу для площади треугольника АВС, получаем:

S = 1/2 * b * BF = 1/2 * b * (9 - c) = 1/2 *