Question

Высота ромба равна 24 см,а его диагонали относятся как 3 : 4.Найти площадь ромба.

Answer 1

Ромб АВСД, диагонали ВД:АС=3:4, высота ВН=24 (опущена на сторону АД).
Пусть диагонали ромба ВД=3х, АС=4х.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом  и в точке пересечения делятся пополам, значит сторона ромба по т.Пифагора:
АД²=(АС²+ВД²)/4=(16х²+9х²)/4=25х²/4.
АД=5х/2
Площадь ромба  можно найти S=ВД*АС/2=АД*ВН
3х*4х/2=5х/2*24
6х²=60х
х=10
Значит ВД=30, АС=40, а площадь  S=30*40/2=600

Answer 2

Пусть $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба, а $h$ - его высота. Так как диагонали относятся как $3:4$, то можно записать:

$\frac{d_1}{d_2}=\frac{3}{4}$

Так как диагонали ромба являются перпендикулярами, то они делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. Каждый из этих треугольников является прямоугольным, а катеты этих треугольников равны половине диагоналей. Поэтому можно записать:

$\frac{d_1}{2}^2 + h^2 = \frac{d_2}{2}^2$

Подставляем $d_1=\frac{3}{4}d_2$:

$\left(\frac{3}{8}d_2\right)^2 + h^2 = \left(\frac{1}{2}d_2\right)^2$

Решаем уравнение относительно $h$:

$h^2 = \frac{1}{4}d_2^2 - \frac{9}{64}d_2^2 = \frac{55}{256}d_2^2$

$h = \frac{\sqrt{55}}{4}d_2$

Теперь можем найти площадь ромба, умножив половину произведения диагоналей на высоту:

$S = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}d_2\cdot d_2 = \frac{3}{8}d_2^2$

$S = \frac{3}{8}\cdot\frac{256}{55}h^2 = \frac{192}{55}\approx 3.49\text{ м}^2$

Итак, площадь ромба равна примерно $3.49$ квадратных сметров.