Question

Основание прямого параллелепипеда - ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений P и Q  

Answer 1

Решение: Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед, площадь диагонального сечения ACC1A1 равна P, а диагонального сечения BDD1B1 равна Q. Тогда

AC*h=P, BD*h=Q, где – h высота параллелепипеда (так как диагональные сечения прямого параллелепипеда - прямоугольники)

Отсюда отношение диагоналей  AC:BD=P:Q.

Пусть О – точка пересечния диагоналей ромба.

Диагонали ромба(как параллелограмма) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (свойство ромба).

Поэтому

AO:BO=(1\2*AC) :  (1\2*BD)=P:Q

Пусть AO=P*x, тогда BO=Q*x, AC=2P*x, BD=2Q*x

по теореме Пифагора:

AB=корень (AO^2+BO^2)= корень (AO^2+BO^2)= корень ((P*x)^2+(Q*x)^2)=

= корень (P^2+Q^2)*х

AC*h=P, BD*h=Q, значит

2P*x*h+2Q*x*h=P+Q

2(P+Q)*x*h=P+Q

h=1\2*1\x

Площадь боковой поверхности равна 4* AB*h=

=4* корень (P^2+Q^2)*х*1\2*1\x=2*корень (P^2+Q^2).

Ответ: 2*корень (P^2+Q^2).

Answer 2

Пусть длины диагоналей ромба, являющегося основанием параллелепипеда, равны d1 и d2. Тогда сторона ромба будет равна половине диагонали: a = d1 / 2 = d2 / 2

Также из геометрических соображений можно заметить, что высота параллелепипеда равна длине боковой грани, и она равна h = sqrt(P / 4a^2)

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна периметру основания, умноженному на высоту: S = 4a * h = 2(d1 + d2) * sqrt(P / 4a^2)

Подставляя a = d1 / 2 = d2 / 2, получаем: S = (d1 + d2) * sqrt(P / d1^2)

Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна (d1 + d2) * sqrt(P / d1^2), где d1 и d2 - длины диагоналей ромба, являющегося основанием параллелепипеда, а P - площадь диагональных сечений.