Question

Точки А,В,С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков DA и BD, параллельна плоскости АВС. (с рисунком) СРОЧНО!

Answer 1

Через любые три точки в пространстве можно провести плоскость и при том только одну.
Имеем плоскость АВС и плоскость АDВ.  Прямая АВ - общая для обеих плоскостей, следовательно это линия их пересечения. В плоскости АDВ прямая MN является средней линией треугольника АDВ (так как она соединяет середины отрезков АD и DB), значит она параллельна прямой АВ ( сторона треугольника АDB). Но АВ принадлежит и плоскости АВС, следовательно прямая MN параллельна этой плоскости (свойство).

Answer 2

Для начала нарисуем схему с данными точками A, B, C и D:

mathematicaCopy code
     A______B
     /      / \
    /      /   \
   /      /     \
D/______/______\C

Пусть M и N - середины отрезков DA и DB соответственно. Тогда вектор MN является полусуммой векторов DA и DB:

MN = (1/2)(DA + DB)

Для доказательства того, что прямая, проходящая через точки M и N, параллельна плоскости ABC, нам нужно показать, что вектор MN перпендикулярен вектору нормали к плоскости ABC.

Пусть вектор AB задает направление плоскости ABC. Тогда вектор нормали к плоскости ABC можно получить через векторное произведение AB и AC:

n = AB × AC

Так как векторное произведение двух векторов перпендикулярно обоим этим векторам, то вектор n будет перпендикулярен плоскости ABC.

Также заметим, что векторы DA и DB лежат в плоскости ABD. Так как прямая, проходящая через точки M и N, является серединным перпендикуляром отрезка BD, то она перпендикулярна вектору BD.

Теперь рассмотрим скалярное произведение вектора MN и вектора n:

MN · n = (1/2)(DA + DB) · (AB × AC)

Мы можем раскрыть скобки и переставить множители, используя свойства скалярного и векторного произведения:

MN · n = (1/2)(DA · AB × AC) + (1/2)(DB · AB × AC)

Так как векторы DA и DB лежат в плоскости ABD, то проекция этих векторов на вектор AB будет равна одной и той же величине, то есть DA · AB = DB · AB. Также заметим, что вектор AB × AC перпендикулярен вектору AB, поэтому DA · AB × AC = DB · AB × AC.

Таким образом, мы получаем:

MN · n = (1/2)(DA · AB × AC + DB · AB × AC) = (1/2)(DA + DB) · (AB × AC) = MN · (AB × AC)

Так как MN · n = MN · (AB × AC), то вектор MN перпендикулярен вектору n, который является нормалью к плоскости ABC. Следовательно, прямая, проходящая через середины от