Question

В треугольнике ABC на стороне AC лежит точка D, такая, что AB=BD=DC. DF - медиана треугольника BDC. Найдите угол BAC, если угол FDC=65°

Answer 1

Рассмотрим треуг.DВF и треуг DFC
1) DC=DB (по условию)
2) ВF=CF (т. к. DF - медиана треуг. DBC)
3) DF - общая
Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.
Тогда угол FDC равен углу ВDC и равен 65 градусов.
угол ВDА = 180 градусов минус сумма углов FDC и ВDC
ВDА = 180 - (65 + 65)
ВDА = 50 градусов
т. к. АВ = ВD (по условию), то треуг. АВD - равнобедренный.
Следовательно, углы при основании равны. 
Угол ВАD равен углу ВDА и равен 50 градусов.
Ответ: 50 градусов.

Answer 2

Чтобы найти угол BAC, мы можем использовать свойство медианы треугольника, которое гласит, что медиана делит противоположную ей сторону пополам.

Поскольку точка D делит сторону AC пополам, то AD = DC. Также, по условию задачи, AB = BD = DC. Итак, мы имеем:

AD = DC AB = BD = DC

Из этих равенств следует, что треугольник ABD является равнобедренным. Так как AB = BD, угол BDA равен углу BAD.

Теперь обратимся к треугольнику BDC. Угол FDC является внутренним углом этого треугольника. По свойству медианы, медиана делит внутренний угол пополам, поэтому угол BDF равен углу FDC.

Таким образом, мы имеем следующие равенства углов:

∠BDA = ∠BAD ∠BDF = ∠FDC

Так как AB = BD, то ∠BDA = ∠BAD, а значит, угол BAD также равен 65°.

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. Известно, что ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC. Подставляя известные значения, получаем:

65° = ∠BAC + ∠DAC

Так как AD = DC, углы ∠DAC и ∠DCA равны. Обозначим их как x:

65° = ∠BAC + x + x

65° = ∠BAC + 2x

Теперь найдем x. Из треугольника BDC известно, что сумма углов равна 180°:

∠BDC + ∠CBD + ∠CDB = 180°

Поскольку AB = BD = DC, то ∠CBD = ∠CDB. Обозначим этот угол как y:

∠BDC + y + y = 180°

∠BDC + 2y = 180°

Так как ∠FDC = 65° и ∠BDF = ∠FDC, то ∠BDC = 2∠FDC = 2 * 65° = 130°. Подставим это значение в уравнение:

130° + 2y = 180°

2y = 180° - 130°

2y = 50°

y = 25°

Теперь вернемся к уравнению для ∠BAC:

65° = ∠BAC + 2x

65° = ∠BAC + 2 * 25°

65° = ∠BAC + 50°

∠BAC = 65° - 50°

∠BAC =