Question

В параллелограмме ABCD на стороне BC взята точка P так,что BP:PC=3:1,O-точка пересечения диагоналей.Выразите вектор AO и PA через векторы x=AB и y=AD

Answer 1

Так как ВР:РС=3:1 , то на ВР приходится 3 части, а на РС - одна часть. Значит, ВС разделено на 4 части, а  РС - это 1/4 часть от ВС. Вектор РС=1/4*ВС   ⇒   вектор СР= -1/4*ВС= -1/4*AD= -1/4*y .

По правилу параллелограмма сложения векторов: АС=АВ+АD, тогда АО=1/2*АС=1/2*(х+у)

По правилу вычитания векторов: РА=АС-СР=(х+у)-(-1/4*y)=x+3/4*y

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма.

Из условия известно, что BP:PC=3:1. Обозначим вектор BP через a, а вектор PC через b. Тогда можно записать: BP = 3a, PC = b.

Зная, что векторы AB и AD являются диагоналями параллелограмма, можно выразить их через векторы a и b: AB = AP + PC = AP + b, AD = DC + AB = DC + AP + b.

Теперь рассмотрим вектор AO. Мы можем записать его как сумму векторов AP и PO: AO = AP + PO.

Чтобы выразить векторы AO и AP через векторы x=AB и y=AD, заметим, что AB = -BA и AD = -DA (так как они являются противоположными диагоналями параллелограмма). Используя это свойство, получим: AB = -BA = -x, AD = -DA = -y.

Теперь можем выразить вектор AO: AO = AP + PO = AP + (BO + OP) = AP + BO + OP.

Вектор BO можно выразить через векторы x и y, так как BO = BA + AO, и BA = -x: BO = -x + AO.

Таким образом, выражение для вектора AO имеет вид: AO = AP + BO + OP = AP + (-x + AO) + OP.

Теперь перегруппируем выражение, выделив вектор AO на одну сторону: AO - AO = AP + (-x + AO) + OP - AO, 0 = AP - x + AO + OP - AO, 0 = AP - x + OP.

Отсюда получаем, что вектор AP можно выразить через векторы x и OP: AP = x - OP.

Таким образом, мы получили следующие выражения: AO = AP + (-x + AO) + OP, AP = x - OP.

Эти выражения позволяют выразить векторы AO и AP через векторы x=AB и y=AD в данном параллелограмме ABCD.