Question

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна 148 см*2, а площадь полной поверхности 160 см*2. Найдите высоту призмы и площадь ее диагонального сечения.

Answer 1

Правильная четырехугольная призма является прямоугольным параллелепипедом с квадратом в основании.

Боковые грани такой фигуры - 4 равных прямоугольника.

Площадь одного такого прямоугольника:

               S₁ = S(бок) : 4 = 148 : 4 = 37 (см²)

Разница между площадью полной поверхности и площадью боковой поверхности является площадью двух квадратов в основаниях:

               S(осн) = (S - S(бок)) : 2 = (160 - 148) : 2 = 6 (см²)

Сторона основания призмы:

               а = √6 (см)

Тогда высота призмы:

               h = S₁ : a = 37 : √6 = (37√6)/6 (см)

Диагональ основания:

               d = √(2a²) = а√2 = √12 = 2√3 (см)

Площадь диагонального сечения:

               S(d) = d·h = 2√3 · 37√6/6 = 37√18/3 = 37√2 (см²)

 

Ответ: 37√6/6 см; 37√2 см²

Answer 2

Пусть a - длина стороны основания призмы, h - высота призмы.

Боковая поверхность призмы состоит из двух прямоугольников со сторонами a и h, поэтому ее площадь равна: 2ah = 148 см² ..............(1)

Полная поверхность призмы состоит из площади основания (a²) и двух боковых поверхностей, поэтому ее площадь равна: a² + 2ah = 160 см² ..............(2)

Решим систему уравнений (1) и (2) относительно a и h.

Из уравнения (1) можно выразить a через h: a = 74 / h

Подставим это значение в уравнение (2): (74 / h)² + 2(74 / h)h = 160

(74 / h)² + 2h = 160

Раскроем скобки: (74² / h²) + 2h = 160

Перенесем все в одну дробь: (74² + 2h³) / h² = 160

Упростим числитель: 74² + 2h³ = 160h²

2h³ - 160h² + 74² = 0

Находим корни этого уравнения:

h = 14

Теперь, чтобы найти a, подставим найденное значение h в уравнение (1): a = 74 / 14 = 37/7

Теперь вычислим площадь диагонального сечения. По определению, диагональное сечение является прямоугольником со сторонами a и a, а его площадь равна произведению этих сторон: Площадь диагонального сечения = a * a = (37/7) * (37/7) = 1369 / 49 см²

Итак, высота призмы равна 14 см, а площадь ее диагонального сечения равна 1369 / 49 см².