Question

существует ли выпуклый многоугольник, сумма внутренних и сумма внешних углов которого относятся как 9:4 обосновать почему да, или почему нет.

Answer 1

В выпуклом n-угольнике сумма внутренних углов 180(n-2)

Каждый из внешних углов будет 360 минус соответствующий внутренний угол. Значит все внешние углы будут: 360n - 180(n-2)

180(n-2)/(360n - 180(n-2)) = 9/4

Посмотрим, может ли иметь место такое уравнение. Если получится ответ, значит такой многоугольник существует, если нет - нет. 

(180n - 360)/(180n + 360) = 9/4

4*(180n - 360) = 9*(180n + 360)

4*180n - 4*360 = 9*180n + 9*360

5*180n = -13*360

n = - 26/5

n - количество углов. Углов не может быть -26/5 штук :)

Ответ: Не существует

Answer 2

Нет, не существует такого выпуклого многоугольника, у которого сумма внутренних углов и сумма внешних углов относятся как 9:4.

Внутренний угол выпуклого многоугольника может быть выражен как (n-2) * 180°, где n - количество сторон многоугольника. Сумма внутренних углов n-угольника равна n * (n-2) * 180°.

Внешний угол многоугольника равен 360° минус внутренний угол. Сумма внешних углов n-угольника равна n * 360° - n * (n-2) * 180°.

Если сумма внутренних углов и сумма внешних углов относятся как 9:4, то можно записать следующее уравнение:

n * (n-2) * 180° : (n * 360° - n * (n-2) * 180°) = 9 : 4

Решив это уравнение, можно получить значение n. Однако, при решении данного уравнения мы получим, что значение n не является целым числом. Это противоречит определению многоугольника, который должен иметь целое число сторон. Следовательно, не существует выпуклого многоугольника, у которого сумма внутренних и сумма внешних углов относятся как 9:4.