Question

У рівносторонньому трикутнику ABC проведена бісектриса AL. Довести, що а) BL=LC; б) AL перпендикулярна BC.

Answer 1

а) в рівнобедренному трикутнику бісектриса проведена з вершини тикутника ділить протилежну сторону навпіл.

б) в рівнобедренному трикутнику бісектриса є одночасно медіаною і висотаю, а висота проведена до основи утворює кут дев яносто градусів. Отже АL перпендикулярна ВС.

Answer 2

Для доведення тверджень а) і б) про бісектрису трикутника, використаємо властивості рівностороннього трикутника.

а) Доведення BL=LC:

У рівносторонньому трикутнику всі сторони і кути рівні. Отже, маємо AB = BC = AC.

Враховуючи це, розглянемо бісектрису AL. Бісектриса поділяє протилежну сторону трикутника на дві частини пропорційно до суми прилеглих сторін. Оскільки AB = BC = AC, то пропорція поділу буде рівна.

Припустимо, що BL ≠ LC. Без втрати загальності, можна припустити, що BL < LC.

Тоді ми маємо BL + LC > BC (за нерівністю трикутника). Але ми знаємо, що BL + LC = BC (відповідно до пропорції поділу бісектрисою).

Отже, ми отримали суперечність, тому наше припущення було помилковим. Таким чином, ми довели, що BL = LC.

б) Доведення AL перпендикулярна BC:

Ми вже з'ясували, що BL = LC. Оскільки бісектриса розділяє протилежну сторону трикутника на дві рівні частини, то ми можемо сказати, що BL = LC = 1/2 * BC.

Враховуючи це, розглянемо трикутники ABL і ACL.

У трикутнику ABL ми маємо BL = 1/2 * BC (за властивістю бісектриси) і AB = AC (так як трикутник ABC - рівносторонній).

У трикутнику ACL ми маємо LC = 1/2 * BC (за властивістю бісектриси) і AC = AB (так як трикутник ABC - рівносторонній).

Отже, у трикутниках ABL і ACL ми маємо дві пари сторін, що рівні. Такі трикутники називаються рівнобедреними.

У рівнобедреному трикутни