Question

К графику функции f(x)=4x-x^2 проведены касательные в точках с абциссами х1=1 и х2=4 .найдите площадь треугольника, образованного этими касательными с осью Ох

Answer 1

Производная функции f(x)=4x-x^2 равна y' = 4 - 2x.

Находим уравнения касательных для точек х1 = 1 и х2 = 4.

х1 = 1.  y'(1) = 4-2 = 2, y(1) = 4 - 1 = 3.   yкас = 2(х - 1) + 3 = 2х + 1.

х2 =4.  y'(1) = 4-8 = -4, y(1) = 16 - 16 = 0.   yкас = -4(х - 4) + 0 = -4х + 16.

Находим координаты точки А пересечения касательной от х1 с осью Ох.     2х + 1 = 0,  х = -1/2.   Точка А((-1/2; 0).

Находим координаты точки В пересечения двух касательных между собой.     2х + 1 = -4х + 16,  6х =15, х = 15/6 = 5/2 = 2,5.   у = 2*2,5 + 1 = 6.

Точка В((2,5; 6).

Находим координаты точки С пересечения касательной от х2 с осью Ох.    -4х + 16 = 0,  х = 16/4 = 4.   Точка С((4; 0).

Так как основание треугольника совпадает с осью Ох, то его длина равна 4 - (-1/2) = 4,5.

Высота треугольника равна координате точки В по оси Оу, то есть 6.

Получаем ответ: S = (1/2)*4,5*6 = 13,5 кв.ед.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится найти координаты точек пересечения касательных с осью Oх и затем найти площадь треугольника, образованного этими точками и осью Oх.

Шаг 1: Найдем уравнение касательной в точке с абсциссой x1 = 1. Для этого вычислим производную функции f(x):

f'(x) = 4 - 2x

Подставим x = 1 в уравнение производной, чтобы найти значение наклона касательной:

f'(1) = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2

Таким образом, наклон касательной в точке x1 = 1 равен 2.

Шаг 2: Найдем уравнение касательной в точке с абсциссой x2 = 4. Повторим те же шаги:

f'(x) = 4 - 2x

Подставим x = 4 в уравнение производной:

f'(4) = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4

Таким образом, наклон касательной в точке x2 = 4 равен -4.

Шаг 3: Найдем точки пересечения касательных с осью Oх, то есть найдем значения x, когда f(x) = 0.

Подставим f(x) = 0 в уравнение функции:

4x - x^2 = 0

x(4 - x) = 0

Таким образом, x = 0 или x = 4.

Шаг 4: Найдем соответствующие значения y для этих точек пересечения, подставив их в уравнение функции:

При x = 0: f(0) = 4(0) - (0)^2 = 0

При x = 4: f(4) = 4(4) - (4)^2 = 16 - 16 = 0

Таким образом, точки пересечения касательных с осью Oх имеют координаты (0, 0) и (4, 0).

Шаг 5: Найдем площадь треугольника, образованного этими точками и осью Oх. Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения его высоты на основание.

Высота треугольника - это расстояние между точками пересечения (0, 0) и (4, 0), то есть 4.

Основание треугольника - это расстояние между точками пересечения (0, 0) и (4, 0), то есть 4.

Подставим значения в формулу площади тре