Question

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 52, 56 и 72.

Answer 1

ΔМКР: <М=52°, <К=56°, <Р=72°.
Получается, что окружность с центром О вписана в ΔАВС и описана около ΔМКР.
Значит углы ΔМКР - вписанные углы. Т.к. вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то <М=1/2∪КР, дуга КР=2<M=2*52=104°
<К=1/2∪МР, дуга МР=2<К=2*56=112°
<Р=1/2∪МК, дуга МК=2<Р=2*72=144°
Углы ΔАВС - это углы между касательными к окружности, равные  половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами:
<A=(∪MKP-∪MP)/2=(∪MK+∪KP-∪MP)/2=(144+104-112)/2=68°
<В=(∪КРМ-∪MК)/2=(∪КР+∪МP-∪MК)/2=(104+112-144)/2=36°
<С=(∪РМК-∪КР)/2=(∪МР+∪МК-∪КР)/2=(112+144-104)/2=76°

Answer 2

Углы треугольника ABC можно найти, используя свойства вписанной окружности и равенства углов.

Для начала заметим, что углы, образованные касательной и хордой, равны. Это означает, что угол MBC = 52°, угол MCB = 56° и угол KCB = 72°.

Также известно, что сумма углов треугольника равна 180°. Используя это свойство, мы можем найти угол ABC.

Угол ABC = 180° - угол MBC - угол KCB = 180° - 52° - 72° = 56°

Таким образом, углы треугольника ABC равны 56°, 52° и 72°.