Question

Окружности радиусом 45 и 55 касаются внешним образом. Точки a и b лежат на первой окружности, точки c и d - на второй. При этом ِac и bd - общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми ab и cd.

Answer 1

Касательные пересекутся в точке (обозначим) M
центры окружностей (вписанных в угол между касательными) 
лежат на биссектрисе этого угла
радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным))
биссектриса будет и высотой и медианой в равнобедренных треугольниках CMD (AMB) т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны))
получили подобные прямоугольные треугольники...
Искомое расстояние = 99

Answer 2

Чтобы найти расстояние между прямыми ab и cd, нужно рассмотреть треугольники abc и bcd, так как ac и bd являются общими касательными окружностей.

Рассмотрим треугольник abc. Учитывая, что ac является касательной к первой окружности, а bc — касательной ко второй окружности, то ac и bc являются перпендикулярными к радиусам окружностей, проведенным в точках касания.

Обозначим точку касания ac с первой окружностью как E, а точку касания bc со второй окружностью как F.

Так как ra и rb - радиусы окружностей, равны 45 и 55 соответственно, то AE = 45, BF = 55, AC = BC = ra + rb = 45 + 55 = 100.

Рассмотрим треугольник aEC. Мы знаем, что AE = 45, AC = 100, поэтому можно применить теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка EC:

EC^2 = AC^2 - AE^2 EC^2 = 100^2 - 45^2 EC^2 = 10000 - 2025 EC^2 = 7975 EC ≈ 89.29

Аналогично, рассмотрим треугольник bFC. Мы знаем, что BF = 55, BC = 100, поэтому применяем теорему Пифагора:

FC^2 = BC^2 - BF^2 FC^2 = 100^2 - 55^2 FC^2 = 10000 - 3025 FC^2 = 6975 FC ≈ 83.51

Таким образом, расстояние между прямыми ab и cd равно отрезку EF, который является гипотенузой прямоугольного треугольника EFC:

EF = √(EC^2 + FC^2) EF = √(89.29^2 + 83.51^2) EF ≈ √(7975 + 6975) EF ≈ √14950 EF ≈ 122.2

Итак, расстояние между прямыми ab и cd составляет примерно 122.2 единицы длины.