Question

В трапецию abcd сумма длин боковых сторон которой равна 40. вписана окружность.Найдите длину отрезка HD, где BH - высота трапеции

Answer 1

Пусть стороны трапеции равны a, b, c, d. В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: a + c = b + d = 40. Длина средней линии равна полусумме длин оснований: 40/2 = 20

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим следующие величины:

AB = a - длина основания трапеции BC = b - длина верхнего основания трапеции CD = c - длина боковой стороны трапеции AD = d - длина боковой стороны трапеции BH = h - высота трапеции (высота, опущенная из вершины B)

Так как сумма длин боковых сторон трапеции равна 40, то: BC + CD + AD + AB = b + c + d + a = 40

Окружность, вписанная в трапецию, касается всех сторон трапеции. Поэтому отрезок BH является радиусом вписанной окружности и перпендикулярен стороне AB.

Так как отрезок BH - высота трапеции, он разбивает трапецию на два прямоугольных треугольника: △ABH и △DCH.

Используя свойство подобных треугольников, мы можем записать следующее соотношение:

AB / BH = AD / HD

Так как AD = AB - BC и HD = BH - CD, мы можем переписать это соотношение:

(AB - BC) / BH = (AB - BC - CD) / (BH - CD)

Мы знаем, что AB = a и BC = b. Из выражения выше, мы можем получить следующее:

(a - b) / h = (a - b - c) / (h - c)

Теперь, чтобы найти длину отрезка HD, нам нужно решить эту уравнение относительно HD.

(a - b) / h = (a - b - c) / (h - c)

(h - c)(a - b) = h(a - b - c)

ah - bh - ac + bc = ah - bh - ch

bc - ac = -ch

c(a - b) = ch

HD = h = c(a - b) / (a - b)

Таким образом, длина отрезка HD равна c(a - b) / (a - b).