Question

Докажите, что одна если вершина треугольника лежит на окружности, а две другие являются концами диаметра, то треугольник такой - прямоугольный

Answer 1

В этом случае вписанный угол (вершина которого - это первая из указанных в задаче вершин) опирается на на диаметр окружности, а значит на полуокружность. Полуокружность = 180 градусов. Вписанный угол равен половине дуги окружности, на которую он опирается (известная теорема). Поэтому данный вписанный угол = 180 градусов : 2 = 90 градусов. То есть один из углов треугольника - прямой, а значит треугольник прямоугольный.

Answer 2

Пусть у нас есть треугольник ABC, где точка A лежит на окружности, а точки B и C являются концами диаметра. Мы хотим доказать, что треугольник ABC является прямоугольным.

Доказательство:

Шаг 1: Рассмотрим точку O, являющуюся центром окружности, на которой лежит точка A. Так как B и C являются концами диаметра, то отрезок BC будет проходить через центр O.

Шаг 2: Из свойства окружности следует, что любой угол, наблюдаемый от центра, будет вдвое больше любого угла, наблюдаемого от точки на окружности.

Шаг 3: Рассмотрим треугольник BOC. Так как BC проходит через центр O, то угол BOC будет прямым углом (180 градусов).

Шаг 4: Вспомним свойство углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусов. Так как угол BOC равен 180 градусам, а угол B и угол C также являются углами треугольника ABC, то сумма углов B и C должна быть равна 180 - 180 = 0 градусов.

Шаг 5: Так как сумма углов B и C равна 0 градусов, то оба угла B и C должны быть нулевыми углами (т.е. прямыми углами).

Шаг 6: Таким образом, угол BOC прямой угол, а углы B и C также прямые углы. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным.

Таким образом, доказано, что если одна вершина треугольника лежит на окружности, а две другие являются концами диаметра, то треугольник такой - прямоугольный.