Question

Докажите, что в пятиугольнике, все углы и стороны которого равны, сумма расстояний от произвольной внутренней точки до сторон не зависит от выбора этой точки.

Answer 1

Любой выпуклый многоугольник можно разбить на треугольники, и его площадь будет равна сумме площадей этих треугольников.  
Подробное решение в приложении с рисунком. 

Answer 2

Давайте рассмотрим пятиугольник, все углы и стороны которого равны. Пусть дана произвольная внутренняя точка в этом пятиугольнике, и нам нужно доказать, что сумма расстояний от этой точки до сторон не зависит от выбора точки.

Обозначим эту произвольную внутреннюю точку как P. Проведем из этой точки линии, соединяющие P с вершинами пятиугольника. Таким образом, у нас будет пять таких линий.

Теперь рассмотрим каждую из этих линий по отдельности. Заметим, что каждая линия является высотой треугольника, образованного двумя соседними сторонами пятиугольника и линией, проведенной из P. Поскольку все углы и стороны пятиугольника равны, каждый из этих треугольников будет равнобедренным.

Таким образом, расстояние от точки P до каждой стороны пятиугольника будет одинаково, так как оно будет равно расстоянию от P до основания равнобедренного треугольника.

Теперь рассмотрим сумму расстояний от точки P до сторон пятиугольника. Поскольку расстояние от P до каждой стороны одинаково, эта сумма будет равна пятикратному расстоянию от P до одной из сторон.

Таким образом, мы видим, что сумма расстояний от произвольной внутренней точки пятиугольника до сторон не зависит от выбора этой точки, так как она равна пятикратному расстоянию от P до одной из сторон.

Таким образом, мы доказали, что в пятиугольнике, все углы и стороны которого равны, сумма расстояний от произвольной внутренней точки до сторон не зависит от выбора этой точки.