Question

В треугольнике ABC угол B- тупой, высоты AA1, BB1, CC1 (их продолжение) пересекаются в точке H. Докажите, что HA*HA1=HC*HC1

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для доказательства равенства HA * HA1 = HC * HC1 в треугольнике ABC с углом B, тупым и точкой пересечения высот H, мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Обозначим длину отрезка HA как hA, а длину отрезка HC как hC. Обозначим также длину отрезка HA1 как hA1 и длину отрезка HC1 как hC1.

По свойству подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон подобных треугольников равно. Мы знаем, что треугольники AHB и CHB подобны, так как у них углы B и A равны (угол A является прямым углом в треугольнике AHB). Поэтому мы можем записать следующее отношение:

hA1 / hC1 = hA / hC ...(1)

Также мы знаем, что треугольники AHH1 и CHH1 подобны, так как у них углы H равны (угол H является прямым углом в обоих треугольниках). Поэтому мы можем записать следующее отношение:

hA / hC = hA1 / hC1 ...(2)

Теперь соединим уравнения (1) и (2):

hA1 / hC1 = hA / hC = hA1 / hC1

Мы видим, что отношение длин сторон на левой стороне равно отношению длин сторон на правой стороне, что означает, что они равны друг другу.

Таким образом, доказано, что HA * HA1 = HC * HC1.