Question

равнобедренный треугольник с основанием 8см. вписан в окружность радиуса 5см. найдите площадь этого треугольника, если центр окружности находится внутри треугольника

Answer 1

Продлите высоту треугольника до окружности и видим, что высота треугольника равна 8 см. Теперь легко определить S = 8х8/2 =32 кв. см.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание о свойствах равнобедренных треугольников, а также о том, что если треугольник вписан в окружность, то его биссектрисы пересекаются в центре окружности.

Поскольку треугольник равнобедренный, то его две боковые стороны равны между собой. Пусть эти стороны равны x см. Тогда основание треугольника равно 8 см.

Так как треугольник вписан в окружность радиуса 5 см, то можно сказать, что от центра окружности до каждой вершины треугольника одинаковое расстояние, равное радиусу окружности. Обозначим это расстояние как y см.

Теперь мы можем построить прямоугольный треугольник с катетами x/2 и y, где x/2 - половина основания равнобедренного треугольника, а y - радиус окружности. Гипотенуза этого треугольника равна радиусу окружности, то есть 5 см.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

(x/2)^2 + y^2 = 5^2

x^2/4 + y^2 = 25

x^2 + 4y^2 = 100

Также мы знаем, что периметр равнобедренного треугольника можно выразить следующим образом:

Периметр = 2x + 8

С другой стороны, мы можем выразить периметр через длины сторон треугольника:

Периметр = a + a + 8

2x + 8 = 2a + 8

2x = 2a

x = a

Таким образом, основание равно боковой стороне треугольника.

Мы можем решить систему уравнений, состоящую из уравнения для периметра и уравнения, связывающего x и y:

x = a x^2 + 4y^2 = 100

Подставим x = a во второе уравнение:

a^2 + 4y^2 = 100

Поскольку a = 8 (основание треугольника), получаем:

64 + 4y^2 = 100

4y^2 = 100 - 64

4y^2 = 36

y^2 = 9

y = 3

Таким образом, мы нашли, что y = 3 см.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника,