Question

найти угол между отрезками, соединяющими соседние вершины с центром правильного многоугольника, число диагоналей которого в 3 раза больше чем число сторон.

Answer 1

Число диагоналей равно $\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-3)}{2}$; По условию: $\frac{n(n-3)}{2}=3n \Leftrightarrow n=9$

Следовательно искомый угол равен 360°/9 = 40°

Answer 2

Давайте рассмотрим правильный многоугольник с n сторонами. Число диагоналей в таком многоугольнике можно выразить формулой:

D = n * (n - 3) / 2,

где D - число диагоналей, n - число сторон. В данном случае у нас число диагоналей в 3 раза больше числа сторон, поэтому:

D = 3 * n.

Подставим это выражение в формулу для числа диагоналей:

3 * n = n * (n - 3) / 2.

Упростим уравнение:

6n = n^2 - 3n.

n^2 - 9n = 0.

n(n - 9) = 0.

Из этого уравнения получаем два возможных значения для n: n = 0 и n = 9. Очевидно, что многоугольник с 0 сторонами не имеет смысла, поэтому возьмем n = 9.

Теперь, чтобы найти угол между отрезками, соединяющими соседние вершины с центром многоугольника, нам нужно выразить этот угол в терминах числа сторон.

Угол между соседними сторонами в правильном многоугольнике равен:

A = 360° / n,

где A - угол в градусах, n - число сторон.

Так как у нас n = 9, то:

A = 360° / 9 = 40°.

Таким образом, угол между отрезками, соединяющими соседние вершины с центром правильного многоугольника, равен 40°.