Question

В треугольнике две медианы,равные 9 и 12 см ,пересекатся под прямым углом. Вычислите стороны треугольника.

Answer 1

Пусть дан треугольник ABC и медианы AK и СМ, AK перпендикулярна CM, т. О – точка пересечения медиан

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины

Пусть x- коэффициент пропорциональности, тогда

           2x+x=12 => 3x=12 =>x=4 => AO=8,OK=4

           2x+x=9 => 3x=9 => x=3 => СO=6,OM=3

Из прямоугольного треугольника AOC:

               (AC)^2=(AO)^2+(CO)^2=8^2+6^2=64+36=100

                AC=10

Из прямоугольного треугольника AOM:

                 (AM)^2=(AO)^2+(OM)^2=8^2+3^2=64+9=73

                  AM=sqrt(73)

                  AM=MB

                  AB=2sqrt(73)

 

Из прямоугольного треугольника COK

                  (CK)^2=  (CO)^2+(OK)^2=6^2+4^2=36+16=52

                    CK=sqrt(52)

                    CK=KB

                     CB=2sqrt(52)=4sqrt(13)     

То есть стороны равны:

                                    AC=10

                                    AB=2sqrt(73)

                                    CB=4sqrt(13)      

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством медиан треугольника. Согласно этому свойству, медиана делит сторону треугольника пополам.

Пусть стороны треугольника обозначены как a, b и c. По условию задачи, две медианы равны 9 и 12 см. Для удобства обозначим точку пересечения медиан как точку M. Тогда медианы AM и BM равны 9 см, а медиана CM равна 12 см.

Поскольку медианы делят стороны пополам, то AM = BM = 9 см и CM = 12 см. Также известно, что медианы пересекаются под прямым углом. Это означает, что треугольник AMC является прямоугольным треугольником с гипотенузой CM.

Используя теорему Пифагора для треугольника AMC, можем записать:

AC² = AM² + CM² AC² = 9² + 12² AC² = 81 + 144 AC² = 225 AC = √225 AC = 15 см

Таким образом, сторона AC треугольника равна 15 см.

Так как AM = BM = 9 см, то сторона BC также равна 9 см.

Таким образом, стороны треугольника равны: AC = 15 см, BC = 9 см, AB = AM + BM = 9 см + 9 см = 18 см.