Question

50 баллов. Убедитесь, что векторы а(2; 1; 2) и b(-2; 2; 1), отложенные от одной точки, можно взять в качестве ребер куба, и найдите третье ребро куба, идущее из той же вершины

Answer 1

Если векторы можно взять в качестве ребер куба, то они должны быть перпендикулярны (скалярное произведение = 0 ) и иметь одинаковую длину

(a*b) = 2*(-2) + 1*2 + 2*1 = 0  - векторы перпендикулярны
$|a| = \sqrt{ 2^{2} + 1 + 2^{2} } = 3$
$|b| = \sqrt{ (-2)^{2} + 2^{2} +1 } = 3$
|a|=|b|, то есть векторы имеют одинаковую длину равную 3
Третье ребро куба должно иметь длину 3 и быть перпендикулярным как вектору a, так и вектору b. Получаем систему уравнений
2x + y + 2z = 0
-2x + 2y + z = 0
x^2 + y^2 + z^2 = 9

Из суммы уравнений (1) + (2) получаем 
y = -z
Из разности (1) - 2 (2) получаем 
2x = y
Подставив эти тождества в третье получаем
x^2 + 4x^2 + 4x^2 = 9
9x^2 = 9
x = +-1
То есть третий вектор может быть (1, 2, -2) или (-1, -2, 2)

Answer 2

Для того чтобы убедиться, что векторы а(2; 1; 2) и b(-2; 2; 1) могут быть ребрами куба, нужно проверить, являются ли они ортогональными и имеют одинаковую длину.

1. Проверка ортогональности: Для этого вычислим скалярное произведение векторов а и b:

а · b = (2 * -2) + (1 * 2) + (2 * 1) = -4 + 2 + 2 = 0

Скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы а и b ортогональны.

2. Проверка длины: Для этого найдем длину каждого вектора и сравним их:

|а| = √(2^2 + 1^2 + 2^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

|b| = √((-2)^2 + 2^2 + 1^2) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3

Оба вектора имеют длину 3, следовательно, они имеют одинаковую длину.

Таким образом, векторы а(2; 1; 2) и b(-2; 2; 1) могут быть ребрами куба, отложенными от одной точки.

Для нахождения третьего ребра куба, идущего из той же вершины, можно воспользоваться векторным произведением. Поскольку куб имеет все ребра одинаковой длины, мы можем использовать найденные ранее векторы а и b для вычисления третьего ребра.

c = а × b

Для вычисления векторного произведения, используем правило с помощью определителя:

c = | i j k | | 2 1 2 | |-2 2 1 |

c = (1 * 1 - 2 * 2)i - (2 * 1 - 2 * (-2))j + (2 * 2 - (-2) * 1)k c = -3i + 6j + 6k

Таким образом, третье ребро куба, идущее из той же вершины, будет вектором c(-3; 6; 6).