Question

В трапецию периметр которой равен 42 см,вписана окружность. Три стороны трапеции,взятые в последовательном порядке,относятся как 2:7:12. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

в четырехугольник можно вписать окружность, когда суммы противоположных сторон его равны

если стороны 2x; 7x;12x, то четвертая может быть 7х

2x+12x-7x=7x

тогда P=2x+7x+12x+7x=42

28x=42; x=1.5

трапеция равнобедренная, значит боковые стороны 7*1.5=10.5

основания 3 и 18

тогда высота ее h^2=10.5^2-((18-3)/2)^2=10.5^2-7.5^2=3*18=54

h=3√6

S=(3+18)/2*3√6=31.5√6

Answer 2

Давайте обозначим стороны трапеции следующим образом:

AB - верхняя основа (сторона, на которой лежит окружность) CD - нижняя основа (параллельна AB) BC - боковая сторона AD - боковая сторона

Пусть x - общий коэффициент пропорциональности между сторонами трапеции, тогда:

AB = 2x BC = 7x CD = 12x AD = 7x

Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон:

AB + BC + CD + AD = 42

2x + 7x + 12x + 7x = 42

28x = 42

x = 42 / 28

x = 3 / 2

Теперь мы можем найти длины всех сторон:

AB = 2x = 2 * (3/2) = 3 см BC = 7x = 7 * (3/2) = 10.5 см CD = 12x = 12 * (3/2) = 18 см AD = 7x = 7 * (3/2) = 10.5 см

Площадь трапеции можно найти, используя формулу:

Площадь = (сумма оснований * высота) / 2

Высота трапеции равна радиусу окружности, вписанной в неё. Так как окружность вписана в трапецию, то диагонали трапеции перпендикулярны. Поэтому высота трапеции равна разности радиуса окружности и половины разности оснований.

Высота = (AB - CD) / 2 = (3 - 18) / 2 = -15 / 2 (отрицательное значение, но мы возьмём абсолютное значение для расчётов)

Радиус окружности равен половине разности оснований:

Радиус = (AB - CD) / 2 = (3 - 18) / 2 = -15 / 2 (опять же, мы возьмём абсолютное значение)

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

Площадь = ((AB + CD) * высота) / 2 = ((3 + 18) * (15 / 2)) / 2 = (21 * 15) / 2 = 315 / 2 = 157.5 см²

Площадь трапеции равна 157.5 квадратных сантиметров.