Question

в прямоугольном треугольнике высота, опущенная из прямого угла , делит гипотенузу на отрезки 3 и 5 см . найдите катеты треугольника

Answer 1

Пусть дан треугольник АВС, ∠С=90° СН- высота, ВН=3 см, АН=5 см
1)
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.⇒
АВ=8 см
СВ²=АВ*ВНСВ=√(8*3)=√24=2√6
АС²=АВ*АН
АС=√(8*5)=2√
2)
Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
СН²=АН*ВН
СН=√5*3=√15 см

Answer 2

Давайте обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, где $a$ - катет, на который опущена высота из прямого угла, а $b$ - оставшийся катет.

Мы знаем, что высота делит гипотенузу на отрезки 3 и 5 см. Пусть $c$ - гипотенуза треугольника. Тогда мы можем записать два уравнения:

$a + b = 3$ (уравнение 1) $a + 5 = c$ (уравнение 2)

Также у нас есть теорема Пифагора для прямоугольных треугольников:

$a^2 + b^2 = c^2$ (уравнение 3)

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из уравнений 1, 2 и 3. Сначала решим уравнение 1 относительно $b$:

$b = 3 - a$

Теперь подставим это значение $b$ в уравнения 2 и 3:

$a + 5 = c$ (уравнение 2) $a^2 + (3 - a)^2 = c^2$ (уравнение 3)

Раскроем скобки в уравнении 3:

$a^2 + 9 - 6a + a^2 = c^2$

Упростим:

$2a^2 - 6a + 9 = c^2$ (уравнение 4)

Теперь подставим значение $c$ из уравнения 2:

$2a^2 - 6a + 9 = (a + 5)^2$

Раскроем скобки:

$2a^2 - 6a + 9 = a^2 + 10a + 25$

Упростим:

$a^2 - 16a + 16 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac$

В нашем случае $a = 1$, $b = -16$ и $c = 16$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 256 - 64 = 192$

Так как $D$ положительный, у нас есть два корня:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{192}}{2} = \frac{16 + 8\sqrt{3}}{2} = 8 + 4\sqrt{3}$

(a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{192}}{2} = \frac{16 - 8\sqrt{3}}{