Question

SABCD четырехугольная пирамида основание которой параллелограмм ABCD . Точка P лежит на луче ВС=СР, а точки Т и К - середины отрезков SP и SD соответственно. Докажите, что ТК|| AC.

Answer 1

1. ВС=СР, но ВС=АД  как стороны параллелограмма  ---> СР = АД
2.  СР || АД , так как СР лежит на ВС, а ВС || АД.
3.  Из (1) и (2) ---> АСРД - параллелограмм и АС || РД
4. ΔSPД: КЕ - средняя линия (следует из условия), а средняя линия параллельна стороне треугольника --->  KT || РД
5.  КТ || РД,  РД || АС --->  КТ || АС

Answer 2

Для доказательства того, что ТК || AC, мы можем использовать две теоремы о параллельных линиях и пропорциональности в треугольниках.

1. Теорема о параллельных линиях: Если две прямые пересекаются третьей прямой так, что внутри треугольника образуются пропорциональные отрезки, то эти две прямые параллельны.

2. Теорема о серединных линиях: В треугольнике, соединяющем середины двух сторон треугольника, линия, параллельная третьей стороне, проходит через середину этой третьей стороны.

Докажем, что ТК || AC с использованием этих двух теорем:

В параллелограмме ABCD мы имеем следующие пары параллельных сторон: AB || CD и AD || BC.

Также из условия известно, что P лежит на луче ВС и VC = CR. Это означает, что отрезок VR делит луч ВС на две равные части. Поскольку точка T является серединой отрезка SP, мы можем сказать, что отрезок ST также делит луч ВС на две равные части. То же самое можно сказать и про отрезок SK, так как точка K является серединой отрезка SD.

Теперь рассмотрим треугольники VST и VAC. У них одинаковые углы, так как это вертикальные углы, и две пары сторон, пропорциональные друг другу:

1. ST = 1/2 SP и AC = 1/2 AD (так как T и K - середины соответствующих сторон).
2. VT = 1/2 VC и VA = 1/2 VB (так как T и K - середины соответствующих сторон).

Из этих пропорций следует, что отношение длины сторон в треугольниках VST и VAC одинаково:

ST/AC = SP/AD и VT/VA = VC/VB.

Теперь применим теорему о параллельных линиях: если отрезки ST/AC и VT/VA пропорциональны, то ТК || AC.

Исходя из равенства VT/VA = VC/VB и параллельности AB || CD, мы можем заключить, что TK || AC.

Таким образом, доказано, что ТК || AC.