Question

1) Периметр правильного треугольника равен см. Найдите радиус вписанной окружности. 2) Около квадрата описана окружность и в квадрат вписана окружность. Найдите отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности.

Answer 1

 r = ((корень из 3) / 6)*AC => т.к. r = 2, тогда 2 = ((корень из 3) / 6)*AC => AC = 4 корня из 3 

Answer 2

1. Для правильного треугольника известно, что радиус вписанной окружности связан с его стороной по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

где $r$ - радиус вписанной окружности, $a$ - длина стороны треугольника.

Если в условии задачи дан периметр треугольника, а не длина его стороны, нам нужно знать формулу для периметра правильного треугольника:

$P = 3a$

где $P$ - периметр треугольника, $a$ - длина стороны треугольника.

Подставляя это значение в формулу для радиуса, получаем:

$r = \frac{P}{6\sqrt{3}}$

2. Пусть $R_1$ - радиус описанной окружности и $R_2$ - радиус вписанной окружности вокруг и внутри квадрата соответственно.

Известно, что диаметр описанной окружности равен длине стороны квадрата, то есть $2R_1 = a$, где $a$ - длина стороны квадрата.

Диаметр вписанной окружности равен длине стороны квадрата минус удвоенная высота равностороннего треугольника, то есть $2R_2 = a - 2h$, где $h$ - высота равностороннего треугольника.

Высота равностороннего треугольника может быть найдена с помощью формулы:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставляя эти значения, получаем:

$R_1 = \frac{a}{2}, \quad R_2 = \frac{a}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a(2 - \sqrt{3})}{2}$

Теперь можем выразить отношение радиусов:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a(2 - \sqrt{3})}{2}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2}{2(2 - \sqrt{3})} = \frac{2}{4 - 2\sqrt{3}}$

Рационализуем знаменатель, умножив его на сопряженное значение:

$$$$