Question

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC катеты равны 10см. Из вершины прямого угла С проведён к плоскости треугольника ABC перпендикуляр СD.CD=20см. Найти расстояние от точки D до гипотенузы AB.

Answer 1

АВ = √АС²+СВ² = √10²+10² = √200  = 10√2 см
АМ=МВ = АВ/2 = 10√2/2 = 5√2 см
CМ = √СВ² + МВ² = √100 - 25*2 = √50 см
ДМ = √СД² + СМ² = √400 + 50 = √450= √225*2 = 15√2 см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных треугольников.

Пусть точка E — проекция точки D на гипотенузу AB. Треугольники CDE и CEA подобны, так как у них углы при вершине C равны по одному прямому углу, а углы при вершине E и D прямые, так как AE и CD перпендикулярны плоскости треугольника ABC.

Из подобия треугольников можно записать пропорцию:

CE/CD = CA/CEA.

Заметим, что CA равно половине гипотенузы AB, то есть CA = AB/2.

Подставляя известные значения, получим:

CE/20см = (AB/2)/CEA.

Умножая обе части уравнения на CEA и упрощая, получим:

CE^2 = 20см * (AB/2).

CE^2 = 10см * AB.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABC:

AB^2 = AC^2 + BC^2.

Так как треугольник ABC — прямоугольный, то AC = BC = 10см (катеты равны 10см).

Подставляя значения, получим:

AB^2 = 10см^2 + 10см^2.

AB^2 = 100см^2 + 100см^2.

AB^2 = 200см^2.

Теперь заметим, что CE^2 + AE^2 = AB^2, так как треугольник CEA — прямоугольный.

Используя эту формулу и известное равенство CE^2 = 10см * AB, получим:

10см * AB + AE^2 = AB^2.

10см * AB + AE^2 = 200см^2.

AE^2 = 200см^2 - 10см * AB.

AE^2 = 200см^2 - 10см * √200см^2.

AE^2 = 200см^2 - 10см * 10см.

AE^2 = 200см^2 - 100см^2.

AE^2 = 100см^2.

Теперь находим AE, вычисляя квадратный корень:

AE = √(100см^2).

AE = 10см.

Таким образом, расстояние от точки D до гипотенузы AB равно 10 см.