Question

Сторона АС треугольника АВС равна 9. Медианы AА1 и СС1 пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная АС. Эта прямая пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках M и N. Найдите: -длину отрезка MN -отношение BN:NC -отношение площади треугольника АВС к площади треугольник BMN

Answer 1

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1 считая от вершины

Так как MN проходит через точку пересечения медиан и параллельна AC, то ΔMBN пропорционален ΔABC с коэффициентом 2/3

Отсюда MN = 2/3 AC = 2/3 * 9 = 6

BN/NC = 2:1

Отношение площадей относится как квадрат коэффициента пропорциональности, таким образом SΔABC : SΔMBN = (3/2)^2 = 9/4

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать свойство медиан треугольника, а также параллельности и соответственности сторон треугольников.

1. Длина отрезка MN: Поскольку MN параллельно стороне AC, мы можем использовать подобие треугольников ABN и AMC. Заметим, что эти треугольники имеют общий угол при вершине A и соответственные стороны, поскольку MN параллельно AC. Таким образом, отношение длин сторон треугольников ABN и AMC равно отношению длин сторон AB и AC.

Из условия известно, что сторона AB равна 9. Поскольку медиана делит сторону пополам, отрезок AA1 равен половине стороны AB, то есть 9/2 = 4.5. Аналогично, отрезок CC1 также равен 4.5.

Теперь мы можем использовать подобие треугольников ABN и AMC: ABN/AMC = AB/AC ABN/AMC = 9/9 = 1/1

Поскольку MN является параллельной стороне AC, отношение длин сторон ABN и AMC равно отношению длин сторон ABN и MN.

ABN/MN = 1/1 ABN = MN

Таким образом, длина отрезка MN равна длине стороны AB, то есть 9.

Ответ: Длина отрезка MN равна 9.

2. Отношение BN:NC: Поскольку точка O является точкой пересечения медиан треугольника ABC, она делит каждую медиану в отношении 2:1. Таким образом, длина отрезка BO равна двум третям длины отрезка AO, и длина отрезка OC также равна двум третям длины отрезка CO1.

BO/OC = 2/1 BO/OC = 2/2 BO = OC

Таким образом, длина отрезка BN равна сумме длин отрезков BO и AO, а длина отрезка NC равна сумме длин отрезков OC и CO1.

BN = BO + AO BN = OC + AO

Поскольку BO = OC и AO = CO1 (поскольку O является точкой пересечения медиан), мы можем записать:

BN = BO + AO BN = OC + CO1

Таким образом, BN = NC.

Ответ: Отношение BN:NC равно 1:1.