Question

Докажите, что если АВ и СД скрещивающиеся прямые, то АД и ВС также скрещивающиеся прямые.

Answer 1

Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости (АВ и CD скрещиваются)
AD и ВС тоже не лежат в одной плоскости, то есть не параллельны и не пересекаются = скрещиваются.

Answer 2

Для того чтобы доказать данное утверждение, мы можем воспользоваться аксиомами и определениями плоской геометрии.

Предположим, что прямые AB и CD пересекаются в точке O. Нам нужно доказать, что прямые AD и BC также пересекаются.

Из определения скрещивающихся прямых следует, что они лежат в одной плоскости. Таким образом, все точки A, B, C, D и O лежат в одной плоскости.

Рассмотрим треугольники ABO и CDO. По построению эти треугольники имеют общую сторону ОВ.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Точки А и С лежат по одну сторону прямой ОВ.

Если это так, то треугольники ABO и CDO не пересекаются и, следовательно, прямые AD и BC также не пересекаются.

2. Точки А и С лежат по разные стороны от прямой ОВ.

В этом случае прямые AD и BC пересекаются внутри треугольника ABO, поскольку они соединяют противоположные вершины этого треугольника.

Таким образом, мы доказали, что если прямые AB и CD пересекаются в точке O, то прямые AD и BC также пересекаются.

Важно отметить, что это доказательство предполагает, что прямые AB и CD пересекаются в одной точке. Если они параллельны или совпадают, то утверждение не будет выполняться.