Question

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Answer 1

Всё подробно написала в решении...

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников MBC и MDA, мы можем использовать свойства окружностей и теорему о пропорциональности боковых сторон треугольников, образующихся при пересечении двух хорд одной окружности.

У нас есть четырехугольник ABCD, который можно описать окружностью. Пусть O обозначает центр этой окружности. Также, пусть точки E и F обозначают точки пересечения продолжений сторон AB и CD, соответственно, с окружностью (см. рисунок ниже).

mathematicaCopy code
        C
       / \
      /   \
     /     \
    M-------F
   /         \
  /           \
 /             \
B--E------D----O

Так как ABCD является описанным четырехугольником, то углы ABC и ADC являются противоположными углами на окружности. Следовательно, эти углы равны:

∠ABC = ∠ADC (1)

Также, по свойству окружности, угол, образованный хордой и касательной, равен половине соответствующего центрального угла. Поэтому угол ABC равен половине угла AOC:

∠ABC = 1/2 ∠AOC (2)

Аналогично, угол ADC равен половине угла AOD:

∠ADC = 1/2 ∠AOD (3)

Из уравнений (1), (2) и (3) получаем:

1/2 ∠AOC = 1/2 ∠AOD

Упрощая, получаем:

∠AOC = ∠AOD (4)

Теперь рассмотрим треугольники MBC и MDA. У нас есть:

∠MBC = ∠ABC (из угловой суммы на прямой) ∠MDA = ∠ADC (из угловой суммы на прямой)

Из уравнений (1) и (4) мы можем заключить, что:

∠MBC = ∠MDA

Таким образом, углы в треугольниках MBC и MDA равны.

Теперь докажем пропорциональность боковых сторон. Рассмотрим отрезок MB и продолжение стороны DA. По теореме о пересекающихся хордах, получаем:

MB/MD = MC/MA

Таким образом, мы получили пропорциональность боковых сторон треугольников MBC и MDA.

Так как углы в треугольниках MBC и M