Question

Точка M находится внутри четырехугольника, Доказать что сумма расстояний от нее до всех вершин больше половины периметра четырехугольника

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Пусть ABCD - четырехугольник, а M - точка внутри него. Обозначим расстояние от точки M до вершины A как MA, до вершины B - MB, до вершины C - MC и до вершины D - MD.

Заметим, что сумма расстояний от точки M до всех вершин равна MA + MB + MC + MD.

Для доказательства нам понадобится неравенство треугольника. В неравенстве треугольника сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Применяя это неравенство к треугольникам MAB, MBC, MCD и MDA, получаем следующие неравенства:

MA + MB > AB MB + MC > BC MC + MD > CD MD + MA > AD

Просуммируем все эти неравенства:

(MA + MB) + (MB + MC) + (MC + MD) + (MD + MA) > AB + BC + CD + AD

Упростим левую и правую части неравенства:

2(MA + MB + MC + MD) > 2(AB + BC + CD + AD)

Теперь мы имеем:

MA + MB + MC + MD > AB + BC + CD + AD

Заметим, что AB + BC + CD + AD является периметром четырехугольника ABCD.

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от точки M до всех вершин (MA + MB + MC + MD) больше периметра четырехугольника ABCD.

Так как периметр четырехугольника - это двукратная длина его окружности, то сумма расстояний от точки M до всех вершин больше половины периметра четырехугольника.

Таким образом, утверждение доказано.