Question

У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки довжиною 8 см і 10 см. Обчислити периметр трикутника.

Answer 1

Обозначим ΔАВС (<С=90⁰), АМ- биссектриса<А. Тогда СМ=8см, МВ=10см. Проведем МН-высоту ΔАМВ. ΔАСМ = ΔАНМ (по гипотенузе и острому углу)⇒СМ=МН=8см. По теореме Пифагора из ΔМНВ находим НВ. НВ²+МН²=МВ², НВ²=10²-8²=36, НВ = 6см.

ΔАСВ подобенΔМНВ ( по двум углам), значит их соответственные стороны пропорциональны: АС:МН = СВ:НВ,  АС:8=18:6, АС=24.

По теореме Пифагора находим АВ (из ΔАВС). АВ²= АС²+ ВС², АВ²= 24²+ 18²= 900, АВ=30см.

 Периметр ΔАВС равен (АВ+АС+ВС)= (30+24+18) = 72 см.

Ответ: 72 см. 

Answer 2

Другой способ решения этой задачи.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
Следовательно, второй катет и гипотенуза этого треугольника относятся как 8:10.
Пусть коэффициент этого отношения будет х.
Тогда гипотенуза будет 10х,

второй неизвестный катет 8х,

а известный катет - сумма отрезков, на которые делит его биссектриса, т.е. 18 см.
По т. Пифагора
(10х)²-(8х)²=18²
36х²=324
х²=9
х=3
Гипотенуза равна 3*10=30 см
второй катет равен 3*8 =24 см
Р=18+30+24=72 см

Answer 3

Щоб обчислити периметр прямокутного трикутника, нам спочатку потрібно знайти довжину всіх його сторін.

За властивостями бісектриси в прямокутному трикутнику, довжина протилежного катета (позначимо його як b) може бути знайдена шляхом множення довжини одного з відрізків, на які розбивається бісектриса, на довжину іншого відрізка. Тому ми можемо записати таке рівняння:

b = 8 см * 10 см = 80 см²

Для прямокутного трикутника ми також знаємо, що довжина гіпотенузи (позначимо її як c) може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора:

c = √(a² + b²),

де a - один з катетів.

Враховуючи, що протилежний катет має довжину 8 см, ми можемо записати:

c = √(8² + 80²) = √(64 + 6400) = √6464 ≈ 80,5 см.

Отже, ми визначили довжину гіпотенузи. Тепер, щоб знайти периметр трикутника, нам потрібно додати довжини всіх його сторін:

Периметр = a + b + c = 8 см + 80 см + 80,5 см ≈ 168,5 см.

Отже, периметр прямокутного трикутника приблизно дорівнює 168,5 см.