Question

Задача 3. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили точки E и F соответственно. Оказалось, что BE = EF. Биссектриса угла EFC пересекает основание AC в точке K. Докажите, что KF = KC.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

EB=EF, значит треугольник EBF - равнобедренный.

и угол EBF равен углу EFB.

Углы ВАС и ВСА равны, т.к. треугольник АВС равнобедренный, значит можно записать, что угол АСВ равен (180°-∠АВС) / 2

Угол CFE и EFB смежные, и в сумме 180°

Значит ∠EFC = 180°-∠EFВ = 180°-∠EBF = 180°-∠АВС

Биссектриса делит угол EFC пополам, значит

∠KFC = 1/2 EFC =  (180°-∠АВС) / 2 = ∠АСВ

Поскольку ∠АСВ=∠KCF=∠KFC, то треугольник СKF имеет равные углы при основании CF следовательно  он равнобедренный.

А в равнобедренном треугольнике СКF KC=KF, что и требовалось доказать.

Answer 2

Доказательство: Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, то стороны AB и BC равны между собой, то есть AB = BC.

Также, по условию, точки E и F находятся на боковых сторонах AB и BC соответственно, причем BE = EF.

Рассмотрим треугольник EFC. Поскольку BE = EF, а угол EFC является общим для обоих отрезков, то треугольник EFC является равнобедренным.

Таким образом, CE = CF.

Теперь рассмотрим треугольник CKA. Он также является равнобедренным, поскольку CA = AC (так как треугольник ABC равнобедренный) и угол CKA является общим для обоих отрезков.

Таким образом, CK = KA.

Теперь рассмотрим треугольник CKF. В этом треугольнике имеем CK = KA (как мы только что выяснили) и CE = CF (из равнобедренности треугольника EFC).

Поскольку CE = CF и треугольник CKF имеет общий угол C, то по теореме о равенстве биссектрисы треугольника треугольник CKF равнобедренный, а значит KF = KC.

Таким образом, мы доказали, что KF = KC.