Question

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O1, биссектрисы EF и DK пересекаются в точки O2. Докажите, что ьочки B,О1 иО2 лежат на одной прямой(рисунок желательо)

Answer 1

После того как отметили точки пересечения О1 и О2,можем провести прямую линия из вершины B (высоту),
можем доказать что обе точки пересечения лежат на прямой.

Answer 2

К сожалению, я не могу предоставить рисунок здесь, так как моя функциональность ограничена только текстом. Однако, я могу описать доказательство того, что точки B, O1 и O2 лежат на одной прямой.

Доказательство:

1. Рассмотрим биссектрису AD треугольника ABC. По свойству биссектрисы, она делит угол BAC на два равных угла. Обозначим точку пересечения биссектрисы AD с прямой BC как точку M.

2. Рассмотрим биссектрису CE треугольника ABC. Аналогично, она делит угол ABC на два равных угла. Обозначим точку пересечения биссектрисы CE с прямой AB как точку N.

3. Так как AD и CE - биссектрисы, то точки M и N являются точками деления сторон BC и AB соответственно.

4. Рассмотрим теперь биссектрису EF треугольника AOM (где M - точка деления стороны BC). Она делит угол AOM на два равных угла. Обозначим точку пересечения биссектрисы EF с прямой AO как точку P.

5. Рассмотрим также биссектрису DK треугольника BON (где N - точка деления стороны AB). Аналогично, она делит угол BON на два равных угла. Обозначим точку пересечения биссектрисы DK с прямой BO как точку Q.

6. Заметим, что треугольники AOM и BON являются подобными, так как у них есть два равных угла (из-за свойств биссектрис) и сторона AO, общая для обоих треугольников.

7. Таким образом, по свойству подобных треугольников, отношение длин смежных сторон в треугольниках AOM и BON должно быть одинаковым.

8. Отсюда следует, что отношение длин AO и AP должно быть равно отношению длин BO и BQ.

9. Но точка P является пересечением биссектрисы EF с прямой AO, а точка Q - пересечением биссектрисы DK с прямой BO. Следовательно, отношение длин AO и AP равно отношению длин BO и BQ.

10. Это означает, что точка B также должна лежать на прямой