Question

В прямоугольную трапецию с основаниями a и b вписана окружность радиуса r. Докажите, что r=ab/a+b.

Answer 1

  Пусть дана трапеция  $ABCD\\ A=B=90а$  
Проведя радиус к боковой стороне   $CD$ , получим прямоугольный треугольник, если в прямоугольную трапецию  можно вписать окружность , то площадь равна  $S=ab$.
$S=\frac{a+b}{2}*h\\ h=2r\\ (a+b)r=ab\\ r=\frac{ab}{a+b}$

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся следующими шагами:

1. Обозначим точки пересечения окружности с основаниями трапеции как A и B. Пусть точка A находится на основании a, а точка B находится на основании b.

2. Обозначим точку касания окружности с боковой стороной трапеции как C. Пусть C1 и C2 - точки касания с основаниями a и b соответственно.

3. Поскольку окружность вписана в трапецию, то AC и BC являются радиусами окружности и имеют одинаковую длину r.

4. Рассмотрим треугольник ABC. Он является прямоугольным, поскольку AC и BC являются радиусами окружности. Также, BC является высотой треугольника.

5. По теореме Пифагора для треугольника ABC имеем: AB^2 = AC^2 + BC^2.

6. Из свойств радиуса окружности следует, что AC = r и BC = (a - b)/2.

7. Подставим значения AC и BC в уравнение AB^2 = AC^2 + BC^2: AB^2 = r^2 + ((a - b)/2)^2.

8. Так как AB = a + b (сумма оснований трапеции), то можно заменить AB в уравнении: (a + b)^2 = r^2 + ((a - b)/2)^2.

9. Раскроем скобки в уравнении: a^2 + 2ab + b^2 = r^2 + (a^2 - 2ab + b^2)/4.

10. Упростим уравнение, умножив обе части на 4: 4a^2 + 8ab + 4b^2 = 4r^2 + a^2 - 2ab + b^2.

11. Приведем подобные слагаемые: 3a^2 + 10ab + 3b^2 = 4r^2.

12. Перепишем уравнение в виде: 3(a^2 + 2ab + b^2) + 4ab = 4r^2.

13. Заметим, что выражение в скобках является квадратом суммы a и b: (a + b)^2 = 4r^2.

14. Раскроем скобки: a^2 + 2ab + b^2 = 4r^2.

15. Заметим, что левая часть уравнения совпадает с квадратом суммы a и b: (a + b)^2 = 4r^2.

16. Разделим об