Question

Дан прямоугольный треугольник АВС:угол С=90 градусов.На катете ВС отмечена точка М.Докажите что АС меньше АМ,а АМ меньше АВ

Answer 1

Ответ:

1) Пусть А - отдельная точка, а СВ - прямая. Кратчайшее расстояние от точки до прямой - перпендикуляр. АС - это перпендикуляр к СВ, а АМ - нет, следовательно АМ длиннее АС.

2)Угол САВ>САМ => cosCAM>cosCAB

cosCAM=AC/AM

cosCAB=AC/AB

Следовательно АВ>АМ

Answer 2

Для доказательства неравенства AC < AM, а затем AM < AB в прямоугольном треугольнике ABC, мы можем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

AB^2 = AC^2 + BC^2.

Следовательно, если мы докажем, что BC^2 < AM^2, то мы сможем утверждать, что AB^2 < AC^2 + AM^2, и, таким образом, AM < AB.

Рассмотрим треугольник ABM. Угол АBM является прямым углом, так как это продолжение катета ВС, а угол ВМА равен углу C, так как точка М находится на катете ВС. Поэтому треугольник ABM также является прямоугольным.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику ABM, мы получаем:

AM^2 = AB^2 + BM^2.

Так как угол ВМА равен углу C, то BM является катетом в треугольнике ABM, а значит, BM < BC.

Следовательно, мы можем записать неравенство:

BC^2 < BM^2.

Из этого следует:

AB^2 = AC^2 + BC^2 < AC^2 + BM^2 = AM^2.

Таким образом, мы доказали, что AC < AM и AM < AB в прямоугольном треугольнике ABC с углом C равным 90 градусов.