Question

В трапеции ABCD (AB и BC основание) диагонали пересекаются в точке O, площадь треугольника AOD = 32 сантиметра, площадь треугольника BOC = 8 сантиметров. Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см

Answer 1

Треугольники AOD и BOC подобны. Найдем коэффициент подобия с использованием свойства: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, тогда 32:8=4 - квадрат коэффициента подобия, поэтому сам коэффициент равен 2. Стороны AD и BC - соответственные, отношение AD к BC равно коэффициенту подобия, но AD=10, значит BC=5.

Answer 2

Пусть AB и CD являются основаниями трапеции ABCD, причем AB > CD. Пусть AD и BC - диагонали, которые пересекаются в точке O.

Так как AD и BC являются диагоналями, то треугольники AOD и BOC равны по площади (по правилу "боковая сторона и прилежащие к ней углы равны"). Поэтому площадь треугольника AOD равна площади треугольника BOC.

Из условия известно, что площадь треугольника AOD равна 32 см², а площадь треугольника BOC равна 8 см².

Пусть h1 - высота треугольника AOD, а h2 - высота треугольника BOC.

Так как площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, то у нас есть следующие соотношения:

32 = (AB + CD) * h1 / 2 8 = (AB + CD) * h2 / 2

Для удобства решения заменим AB на x, а CD на y:

32 = (x + y) * h1 / 2 8 = (x + y) * h2 / 2

Так как h1 = h2 и AB = 10, получим:

32 = (10 + CD) * h / 2 8 = (10 + CD) * h / 2

Делим оба уравнения на (10 + CD) / 2:

32 / ((10 + CD) / 2) = h 8 / ((10 + CD) / 2) = h

Упрощаем:

64 / (10 + CD) = h 16 / (10 + CD) = h

Так как h1 = h2, то 64 / (10 + CD) = 16 / (10 + CD). Умножаем обе части на (10 + CD):

64 = 16

Это противоречие. Получаем, что такая трапеция с заданными площадями треугольников AOD и BOC не существует.