Question

Окружность Г, вписанная в треугольник ABC , касается стороны AB в точке K ,а стороны АС - в точке Т. На меньшей дуге ТК окружности Г выбрана точка Р. Прямая ,проходящая через точку К параллельно прямой АР, вторично пересекает окружность Г в точке N. Найдите РК, если известно , что АР=8, KN=2.

Answer 1

////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Давайте рассмотрим данную геометрическую ситуацию и найдем значение РК.

Возьмем точку O как центр окружности Г. Также, обозначим угол ТОК как α и угол КРН как β.

Так как точка К является точкой касания окружности Г с отрезком AB, то угол КОА равен 90 градусов. Также, угол ОКА равен половине угла А, то есть α/2.

Так как прямая, проходящая через точку К и параллельная прямой АР, пересекает окружность Г в точке N, то угол КНР равен 90 градусов.

Из треугольника КОН мы можем выразить угол ОНК, используя сумму углов треугольника: Угол ОНК = 180 - угол ОКН - угол КНО Угол ОНК = 180 - (90 - α/2) - 90 Угол ОНК = α/2

Так как угол КНР равен 90 градусов, то угол КРО равен 180 - 90 - угол ОНК = 90 - α/2.

Теперь рассмотрим треугольник АРК. Из него мы можем выразить угол АКР, используя сумму углов треугольника: Угол АКР = 180 - угол АРК - угол КАР Угол АКР = 180 - (90 - α/2) - 90 Угол АКР = α/2

Таким образом, угол АКР равен α/2.

Из условия дано, что АР = 8 и KN = 2.

Рассмотрим треугольник АРК. Мы можем применить теорему синусов для него: РК/син(α/2) = АР/син(α/2) = 8/син(α/2)

Также, рассмотрим треугольник КНР. Применяя теорему синусов, мы получаем: РК/син(β) = KN/син(90 - α/2) = 2/сос(90 - α/2)

Мы можем сравнить два полученных выражения для РК: 8/син(α/2) = 2/сос(90 - α/2)

Домножим обе части на син(α/2), чтобы избавиться от знаменателя: 8 = 2 * син(α/2) / сос(90 - α/2)

Используем тригонометрическое тождество: сос(90 - α/2