Question

ABCD - прямоугольник. Биссектрисы углов ABD i ACD пересеклись под углом 450. Докажите, что АВ = ВС.

Answer 1

Пусть точка пересечения диагоналей прямоугольника О. Треугольники АВО и DCO равны по трём сторонам (по св-ву прямоугольника точка пересечения делит диагонали пополам). Следовательно, углы ABD и DCA равны и равны между собой углы, образованные биссектриссами. Пусть точка пересечения биссектрисс - М. Рассмотрим треугольник ВСМ. Он равнобедренный, и раз угол вершины равен 45 градусов, то углы при основании равны (180-45)/2=135/2=67,5. Рассмотрим угол АВМ. Он равен 90-уголСВМ=90-67,5=22,5 Найдем угол АВD, поделенный пополам биссектриссой 22,5*2=45. BD делит прямой угол пополам и является диагональю - это свойство квадрата, следовательно все его стороны равны и АВ=ВС. Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства, что AB = BC, нам понадобится использовать свойство биссектрисы угла.

Пусть M будет точкой пересечения биссектрис углов ABD и ACD. Тогда у нас имеется два угла:

1. Угол ABD, в котором биссектриса пересекается с AB.
2. Угол ACD, в котором биссектриса пересекается с AC.

Так как биссектрисы пересеклись под углом 45°, то углы, образованные этими биссектрисами с AB и AC, равны 45°.

Рассмотрим треугольник ABM. В этом треугольнике угол ABM равен половине угла ABD, то есть 45°/2 = 22.5°.

Аналогично, рассмотрим треугольник BCM. В этом треугольнике угол BCM равен половине угла ACD, то есть 45°/2 = 22.5°.

Так как углы ABM и BCM равны, а также сторона BM общая для обоих треугольников, то по признаку равенства треугольников ABM и BCM, сторона AM равна стороне CM.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. В этом треугольнике у нас имеются два равных отрезка: AM = CM и угол AMC, который равен 45°.

Так как угол AMC равен 45°, то треугольник AMC является равнобедренным треугольником, и это означает, что отрезок AC равен отрезку MC, то есть AC = CM.

Итак, у нас получилось, что AM = CM и AC = CM.

Сложим эти равенства: AM + AC = CM + CM, то есть AM + AC = 2CM.

Но мы уже знаем, что AM = CM, поэтому это можно записать как AM + AC = 2AM.

Выразим AM: AM = AC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас имеются два равных отрезка: AB и AC, так как AM = CM.

Таким образом, мы доказали, что AB = AC, что означает, что стороны AB и BC прямоугольника ABCD равны друг другу: AB = BC.