Question

В параллелограмме АВСD <В = 120°.Биссектриса угла АВС делит сторону АD напополам.Найдите периметр параллелограмма,если BD = 5 см.

Answer 1

∠ABE=∠CBE =∠ABC/2 =120°/2 =60° (BE - биссектриса)

∠BEA=∠CBE (накрест лежащие при BC||AD)

∠ABE=∠BEA => △ABE - равносторонний (раввнобедренный с углом 60°)

AB=BE=AE=ED

Если медиана равна половине стороны, к которой проведена, то она проведена из прямого угла.

∠ABD=90°

В треугольнике с углами 30°, 60°, 90° стороны относятся как 1:√3:2

AB=BD/√3 =5/√3 (см)

P(ABCD)= 2(AB+AD) =6AB =6*5/√3 =10√3 (см)

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и угловой биссектрисы.

Угол В = 120°, поскольку в параллелограмме противоположные углы равны. Также известно, что биссектриса угла АВС делит сторону АD пополам, что означает, что точка пересечения биссектрисы и стороны АD является ее серединой.

Обозначим точку пересечения биссектрисы и стороны АD как точку М. Тогда AM = MD.

Так как AM = MD, и сторона АD делится пополам, значит AM = MD = AD/2.

Поскольку угол В равен 120°, то угол ВАС = 180° - 120° = 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Теперь мы можем применить теорему синусов в треугольнике ВАС:

sin(60°) / BD = sin(ВАС) / AC

sin(60°) / 5 = sin(ВАС) / AC

sin(60°) = (sin(ВАС) * 5) / AC

sin(60°) = (sin(ВАС) * 5) / (2 * AM)

sin(60°) = sin(ВАС) / (2 * AM)

sin(60°) = sin(ВАС) / (2 * (AD/2))

sin(60°) = sin(ВАС) / AD

Так как sin(60°) = √3 / 2, получаем:

√3 / 2 = sin(ВАС) / AD

sin(ВАС) = (√3 / 2) * AD

sin(ВАС) = (√3 / 2) * 2 * AM

sin(ВАС) = √3 * AM

Теперь можем найти сторону AC:

sin(ВАС) = √3 * AM

AC = BD / sin(ВАС)

AC = 5 / (√3 * AM)

AC = 5 / (√3 * (AD/2))

AC = (10 / (√3 * AD))

Так как параллелограмм имеет противоположные стороны равными, периметр P можно найти как:

P = 2 * (AC + BD)

P = 2 * ((10 / (√3 * AD)) + 5)

P = 20 / (√3 * AD) + 10

Теперь, когда у нас есть формула для периметра, остается только подставить значение BD = 5 см в формулу и вычислить периметр.