Question

В прямоугольном треугольнике отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно 2:5. Найдите острые углы треугольника. с объяснением, пожалуйста

Answer 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 2R
R - радиус описанной окружности
R : r =5 : 2  =>  r = 0,4R
Тогда Один катет равен (0,4R+х)
Другой катет равен (2,4R - x)
Можно составить уравнение по теореме Пифагора
$(x+0,4R)^{2}+ (2,4R-x) ^{2} =4R ^{2}$

x= 1,2R  или х = 1,6R
Тогда один катет равен 1,6R
Другой катет равен 1,2R
SinA = $\frac{1,6R}{2R} =0,8$

<A = arcsin0,8
Соответственно <B= arcsin0,6

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим острые углы треугольника как A, B и C, где угол A находится напротив стороны с радиусом вписанной окружности, угол B находится напротив стороны с радиусом описанной окружности, и угол C — напротив оставшейся стороны.

Мы знаем, что отношение радиуса вписанной окружности (r) к радиусу описанной окружности (R) равно 2:5. Это означает, что r/R = 2/5.

Также известно, что радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника (S) и полупериметром (p) следующим образом: S = pr, где p = (a + b + c)/2, где a, b и c — длины сторон треугольника.

Радиус описанной окружности связан с площадью треугольника (S) и его полупериметром (p) следующим образом: S = pR.

Мы можем использовать эти два уравнения для нахождения отношения сторон треугольника и, следовательно, для нахождения его углов.

1. Из уравнений площадей: pr = pR Сокращаем p: r = R

2. Теперь, используя теорему синусов для треугольника ABC, мы можем записать следующее соотношение между сторонами и углами: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

3. Поскольку углы A и B находятся напротив сторон с соответствующими радиусами, то sin(A) = r/c и sin(B) = R/c. Заменяем sin(A) и sin(B) в уравнении: a/(r/c) = b/(R/c)

4. Упрощаем выражение: a = br/R

5. Теперь используем отношение r/R = 2/5, которое было дано в условии задачи: a = b * (2/5)

6. Также из теоремы синусов, мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов: A + B + C = 180.

7. Подставляем a = b * (2/5) в уравнение суммы углов: (2/5)b + b + C = 180

8. Упрощаем выражение: (7/5)b + C = 180

9. Так как угол C находится