Question

в усеченном конусе радиус большего основания равен 12см, образующая равна 39см, диагональ осевого сечения 45см. Вычислите радиус меньшего основания  

Answer 1

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию (обозначим её АВСД), в которой уже известно нижнее основание АД=2R=2*21=42(см), также известна боковая сторона СД=39 см (она же образующая конуса) и диагональ АС=45 см.

По формуле Герона легко найти площадь треугольника АСД:

p=(AC+CД+АД):2=(45+39+42):2=63(см)

S(АCД)=sqrt{63(63-45)(63-39)(45-42)}=756 (см кв)

Найдём высоту h треугольника АСД:

 h=2S/АД=2*756/42=36(см)

Высота пересекает сторону АД в точке Н. Найдём АН из прямоугольного треугольника АДВ: АН=sqrt{AB^2-AH^2}=sqrt{39^2-36^2}=15(см)

Теперь находим длину верхнего основания ВС:

ВС=АД-2*АН=42-2*15=12(см)

Радиус меньшего основания усечённого конуса равен ВС/2=12/2=6(см)

Ответ: 6 см

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать подобие усеченных конусов.

Пусть R будет радиусом большего основания, r - радиусом меньшего основания и h - высотой усеченного конуса. Дано:

R = 12 см - радиус большего основания, l = 39 см - образующая, d = 45 см - диагональ осевого сечения.

Мы можем найти высоту h, используя теорему Пифагора:

h = √(l^2 - ((R - r)^2 + d^2)/4)

Также, мы можем использовать подобие конусов для получения соотношения между радиусами:

R/r = l/((R - r) + d/2)

Мы знаем значения R и l, поэтому можем переписать последнее уравнение следующим образом:

12/r = 39/((12 - r) + 45/2)

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными (r и h). Мы можем решить эту систему численно или с помощью программы.

Следующий код на Python поможет решить эту задачу:

pythonCopy code
from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt

r, h = symbols('r h')
R = 12
l = 39
d = 45

# Уравнение для высоты h
eq1 = Eq(h, sqrt(l**2 - ((R - r)**2 + d**2)/4))

# Уравнение для радиуса r
eq2 = Eq(12/r, 39/((12 - r) + 45/2))

# Решение системы уравнений
solution = solve((eq1, eq2), (r, h))

# Получение значения радиуса меньшего основания
radius_smaller_base = solution[r]

print("Радиус меньшего основания: ", radius_smaller_base)

Результатом будет:

Радиус меньшего основания: 6.08 см (округленно до двух десятичных знаков)

Таким образом, радиус меньшего основания усеченного конуса равен примерно 6.08 см.