Question

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Отрезок MN соединяет середины его сторон AD и ВС. Известно, что 2MN = AB + CD. Докажите, что ABCD – трапеция, причём AB параллельна CD.

Answer 1

Решение в скане..........

Answer 2

Для доказательства того, что ABCD является трапецией и AB параллельно CD, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Пусть P и Q - середины сторон AB и CD соответственно. Таким образом, MN является отрезком, соединяющим середины сторон AD и BC, а также середину отрезка PQ.

2. Поскольку MN является отрезком, соединяющим середины сторон AD и BC, то он делит ABCD на две равные части. То есть, площадь треугольника APM равна площади треугольника CNQ.

3. Из условия задачи известно, что 2MN = AB + CD. Поскольку P и Q являются серединами сторон AB и CD соответственно, то MP = NP = 0.5AB и NQ = CQ = 0.5CD.

4. Так как площадь треугольника APM равна площади треугольника CNQ, можно записать следующее: 0.5AB * AP = 0.5CD * CQ.

5. Упростив выражение, получаем: AB * AP = CD * CQ.

6. Поскольку AP = BP и CQ = DQ, из равенства AB * AP = CD * CQ следует, что AB * BP = CD * DQ.

7. Таким образом, у нас есть две пары равных произведений, что означает, что противоположные стороны AB и CD параллельны.

8. Также, поскольку AB || CD и MP = NP, треугольник AMP подобен треугольнику DNP по стороне-стороне (по признаку подобия треугольников).

9. Из подобия треугольников AMP и DNP следует, что угол AMP равен углу DNP.

10. Поскольку углы AMP и DNP - вертикальные (они находятся на пересечении прямых AD и BC), то углы AMP и DNP равны.

11. Таким образом, получается, что углы AMP и DNP равны и противоположны (они лежат на противоположных сторонах от прямой MN).

12. Поэтому, ABCD является трапецией с основаниями AB и CD, где AB || CD, что требовалось доказать.