Question

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой Н и двугранным углом α при боковом ребре. С пояснениями, пожалуйста

Answer 1

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат, а  боковые грани  — равные равнобедренные треугольники.
Пирамида SАВСД: основание АВСД (АВ=ВС=СД=АД). Вершина пирамиды S проектируется в точку О пересечения диагоналей основания (квадрата) АС и ВД, т.е. SO=Н - это высота пирамиды.
Проведем апофему пирамиды SK - это  высота боковой грани.
<SAО=<SBO=<SCO=<SДО=α.
Из прямоугольного ΔSАО: 
АО=SО/tg α=H/tg α
Диагональ основания АС=ВД=2АО=2H/tg α
Сторона основания АВ=АС/√2=2H/√2tg α=√2H/tg α
Объем
V=АВ²*SO/3=(√2H/tg α)²*Н/3=2H³/3tg² α

Answer 2

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам потребуются высота H и двугранный угол α при боковом ребре. Прежде чем перейти к формуле, давайте определимся с понятием правильной четырехугольной пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является квадратом, а боковые грани равны и равномерно наклонены к основанию.

Формула для объема правильной четырехугольной пирамиды:

V = (1/3) * S * H

где: V - объем пирамиды S - площадь основания H - высота пирамиды

Для нашей задачи нужно найти площадь основания S. Поскольку основание является квадратом, нам потребуется одна из его сторон. Обозначим длину стороны квадрата через a.

Теперь давайте посмотрим на основание пирамиды. У нас есть двугранный угол α при боковом ребре. Этот угол разделяет основание пирамиды на два прямоугольных треугольника. Если мы проведем высоту из вершины пирамиды к основанию, она будет делить каждый треугольник на два прямоугольных треугольника.

Таким образом, мы можем использовать тангенс угла α, чтобы найти отношение длины высоты к длине стороны квадрата:

tan(α) = (0.5 * H) / (0.5 * a)

Упрощая это выражение, получим:

tan(α) = H / a

Решая это уравнение относительно a, получаем:

a = H / tan(α)

Теперь, когда у нас есть длина стороны квадрата, мы можем найти площадь основания S:

S = a^2

Теперь, когда у нас есть S и H, мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S * H

Заменяя S на a^2, получаем:

V = (1/3) * a^2 * H

Подставляя значение a, получаем:

V = (1/3) * (H / tan(α))^2 * H

Итак, это формула для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой H и двугранным угл