Question

В трапеции ABCD сторона AB || CD. Известно, что AB = a, CD = b (a > b). Высота трапеции равна H. Боковые стороны AD и BC продолжены до пересечения в точке E. Найдите площадь треугольника ABE, если a = 5, b = 3, H = 4

Answer 1

Sтр=a+b/2 ×h
S= 5+3/2×4= 16

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством подобных треугольников.

Поскольку AB || CD, треугольники ABE и CDE подобны. Это означает, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Мы можем найти соотношение между сторонами треугольников ABE и CDE. Обозначим сторону CE как x. Тогда сторона DE будет равна (a - b), так как AD продолжена и равна стороне AB.

Согласно свойству подобных треугольников, мы можем записать:

AB/CD = AE/CE

(a - b)/b = AE/CE

(a - b)/b = (AE + CE)/CE (так как AE + CE = AD)

(a - b)/b = (AE + x)/x

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x:

(a - b)/b = (AE + x)/x

x(a - b) = b(AE + x)

(a - b)x = bAE + bx

(a - b)x - bx = bAE

(a - b - b)x = bAE

x = (bAE)/(a - 2b)

Мы нашли значение x в терминах AE. Теперь нам нужно выразить AE через известные величины.

Поскольку AE является продолжением стороны AD, AE = AD + DE. Зная, что AD = AB = a и DE = a - b, мы можем записать:

AE = a + (a - b) = 2a - b

Теперь мы можем найти значение x:

x = (bAE)/(a - 2b)

x = (b(2a - b))/(a - 2b)

x = (2ab - b^2)/(a - 2b)

Мы нашли значение x. Теперь мы можем найти площадь треугольника ABE, используя формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника ABE = (1/2) * AE * AB

Подставим известные значения:

Площадь треугольника ABE = (1/2) * (2a - b) * a

Подставим значения a = 5 и b = 3:

Площадь треугольника ABE = (1/2) * (2 * 5 - 3) * 5

Площадь треугольника ABE = (1/2) * (10 - 3) * 5

Площадь треугольника ABE = (1/2) * 7 * 5

Площадь треугольника ABE = 17.5

Таким образом, площадь треугольника ABE равна 17.5.