Question

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=3, AC=12. Найдите AK.

Answer 1

Решение в скане......................

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательной, проведённой к окружности, и теоремой хорд.

По свойству касательной, линия KA является перпендикуляром к линии KB в точке K.

По теореме хорд, произведение отрезков, образованных пересечением хорд, равно постоянной величине. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

AB × AC = KB × KC

Подставляем известные значения:

3 × 12 = KB × KC

36 = KB × KC

Теперь, заметим, что треугольник ABK и треугольник AKC подобны, так как угол ABK и угол AKC оба являются прямыми углами, и угол BKA и угол AKC являются соответственными углами.

Поэтому мы можем записать следующее соотношение между сторонами:

AK / AB = AK / 3 = AC / KC

Теперь мы можем записать выражение для AK:

AK = (AK / 3) × 3 = (AC / KC) × 3 = (12 / KC) × 3

Так как мы знаем, что KB × KC = 36, мы можем выразить KC через KB:

KC = 36 / KB

Подставляем это значение в выражение для AK:

AK = (12 / (36 / KB)) × 3 = (12 × KB / 36) × 3 = (KB / 3) × 3 = KB

Таким образом, AK равно длине отрезка KB.

Ответ: AK = KB.