Question

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) точки М и N - середины сторон АВ и ВС, sin угла ВАС = 4/5. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник МВN, если АВ = 10

Answer 1

В тр-ке АВС боковая сторона АВ=10, высота Н=АВ*sinA=10*4/5=8

основание АС = 2√10²-8²= 2√36= 12

тр-к МВN - подобен данному, и все его элементы в 2 раза меньше, чем у большого.

Радиус вписанной окружности найдем из пропорциональности подобных прямоугольных треугольников МВК и ВОЕ: (MN/2)/r = MB/(h-r)

3/r = 5/4-r)

5r = 3*4 - 3r

8r = 12

  r = 1,5

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник МВN, нам понадобится некоторая информация о треугольнике АВС. По условию известно, что сторона АВ равна 10, а угол ВАС имеет синус 4/5.

Из равнобедренности треугольника АВС следует, что угол АВС равен углу АСВ. Обозначим этот угол через θ. Также обозначим радиус вписанной окружности треугольника МВN через r.

Так как М и N - середины сторон АВ и ВС, то стороны МВ и МН равны половине длины стороны АВ:

МВ = МН = 10/2 = 5.

В треугольнике МВН, сторона НМ равна сумме сторон МВ и МН:

МВ + МН = 5 + 5 = 10.

Также, из свойств вписанной окружности следует, что стороны треугольника МВН образуют половину периметра треугольника, а радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

r = (полупериметр треугольника МВН - периметр треугольника МВН) / 2.

Периметр треугольника МВН равен сумме его сторон:

Периметр МВН = МВ + МН + НВ.

У нас уже известно, что МВ и МН равны 5, остается найти длину стороны НВ. Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольнике АВС:

sin θ = ВС / АВ.

Зная, что АВ = ВС = 10, получаем:

sin θ = 10 / 10 = 1.

Теперь мы можем найти угол θ:

θ = arcsin(1) = π/2.

Зная угол θ, мы можем найти угол НВМ:

угол НВМ = (π - θ) / 2 = (π/2) / 2 = π/4.

Так как угол НВМ равен половине угла, образованного дугой МН, то угол МНВ равен π/2. Из свойств вписанной окружности следует, что центр окружности, вписанной в треугольник МВН, лежит на перпендикуляре, опущенном из центра окружности, описанной около треугольника МВН.

Таким образом, угол МВН равен π/