Question

В треугольнике ABC AB=BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC - точки P и K соответственно. (Точки P, M и K не лежат на одной прямой.) Известно, что угол BMP=углу BMK. Докажите, что а) угол BPM=углу BKM; б) прямые PK и BM взаимно перпендикулярны.

Answer 1

По условию АВ=ВС, значит треугольник АВС равнобедренный. Медиана ВЕ в равнобедренном треугольнике проведена к основанию (АЕ=СЕ), значит она является и биссектрисой (<АВЕ=<СВЕ), и высотой. Рассмотрим треугольники РВМ и КВМ - они равны по 2 признаку: сторона ВМ общая, <РВЕ=КВЕ (ВЕ-биссектриса) и <ВМР=<ВМК. Следовательно в равных треугольниках равны и углы <ВРМ=< ВКМ, и стороны МР=МК. Исходя из этого, если рассмотреть треугольник РМК - он равнобедренный, МВ пересекается с основанием РК, также МВ является биссектрисой (<ВМР=<ВМК), значит она является и высотой ( РК и ВМ перпендикулярны)