Question

В квадрате ABCD сторона равна 6. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите скалярное произведение векторов DC и OA

Answer 1

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

$\overline a * \overline b = |a| * |b| cos \alpha$

Пусть b = 6 - сторона квадрата. Найдём а = ОА - половину диагонали АС. Диагонали разбивают квадрат на 4 одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника, в нашем случае с боковыми сторонами, равные а.

Считаем а по теореме Пифагора:
$a^2 +a^2 = 6^2 \\ \\ a= 3 \sqrt{2}$

Теперь находим угол α между векторами. Переместим параллельно вектор ОА, совместив его начало с точкой D. Тогда сразу становится ясно, что угол между векторами ОА и DC равен 135°.

Вычисляем скалярное произведение:

$\overline OA * \overline DC = |OA| * |DC| * cos \alpha = 3 \sqrt{2} * 6* cos135 = \\ \\ = -18* \sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} = -18$