Question

Исследование методов Гесса​

Answer 1

Основанной закон термохимии.

Answer 2

Методы Гесса относятся к численным методам оптимизации и используются для поиска локального экстремума (минимума или максимума) функции. Они получили свое название в честь немецкого математика Карла Фридриха Гесса. Основная идея заключается в аппроксимации функции в окрестности текущей точки с помощью квадратичной поверхности. Это позволяет более точно определить направление, в котором следует двигаться для достижения экстремума.

Существует несколько вариантов методов Гесса:

1. Метод первого порядка: Использует только первые производные (градиент) для приближенного вычисления локального минимума. Примером является метод градиентного спуска.

2. Метод второго порядка: Использует вторые производные (матрицу Гессе) для более точного приближения квадратичной поверхности в окрестности точки. Примерами являются методы Ньютона и квазиньютоновские методы.

   • Метод Ньютона: Основная идея заключается в аппроксимации функции в окрестности точки квадратичной поверхностью и нахождении минимума этой поверхности. Он может сходиться очень быстро, но требует вычисления и хранения матрицы Гессе и её обратной, что может быть вычислительно затратно.

   • Квазиньютоновские методы: Это класс методов, которые приближают матрицу Гессе, не вычисляя её явно. Они обновляют аппроксимацию матрицы Гессе на каждой итерации и могут обеспечивать хорошую сходимость с меньшими вычислительными затратами по сравнению с методом Ньютона.

Преимущества методов Гесса:

• Быстрая сходимость: Методы второго порядка, такие как метод Ньютона, могут сходиться очень быстро, особенно если начальное приближение близко к экстремуму.
• Точность: Использование квадратичной аппроксимации функции позволяет достичь высокой точности в нахождении локального экстремума.
• Учет кривизны поверхности: Методы второго порядка учитывают информацию о кривизне функции в окрестности точки, что может быть полезно в случаях, когда поверхность имеет сложную форму.

Недостатки:

• Вычислительная сложность: Метод Ньютона и другие методы второго порядка могут быть вычислительно затратными из-за необходимости вычисления и хранения матрицы Гессе и её обратной.
• Неустойчивость: Если матрица Гессе плохо обусловлена или имеет большие собственные значения, методы могут столкнуться с численными проблемами.

Выбор метода зависит от конкретной задачи, структуры функции и вычислительных ресурсов.