Question

Решите уравнение cos2x+8sinx=3

Answer 1

Конечно, рассмотрим уравнение \(\cos(2x) + 8\sin(x) = 3\). Начнем с использования тригонометрических тождеств для замены \(\cos(2x)\):

\(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)\).

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\(1 - 2\sin^2(x) + 8\sin(x) = 3\).

Перенесем все члены уравнения в одну его часть:

\(2\sin^2(x) - 8\sin(x) + 2 = 0\).

Сделаем замену переменной для удобства:

Пусть \(y = \sin(x)\). Тогда уравнение примет вид:

\(2y^2 - 8y + 2 = 0\).

Теперь решим это квадратное уравнение. Сначала поделим все коэффициенты на 2, чтобы упростить его:

\(y^2 - 4y + 1 = 0\).

Далее воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\],

где \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = 1\).

\[y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\],

\[y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}\],

\[y = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}\],

\[y = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}\].

Теперь найдем значения \(x\), зная, что \(y = \sin(x)\):

1. \(y = \sin(x) = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}\). Но синус угла не может превышать 1, поэтому это значение не подходит.

2. \(y = \sin(x) = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\).

Теперь найдем угол \(x\) такой, что \(\sin(x) = 2 - \sqrt{3}\):

\(x = \arcsin(2 - \sqrt{3}) + 2k\pi\), где \(k\) - любое целое число.

Вычислим приближенное значение этого угла:

\(\arcsin(2 - \sqrt{3}) \approx \frac{\pi}{6}\).

Таким образом, одно из решений уравнения: \(x \approx \frac{\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Это лишь одно из решений уравнения, так как тригонометрические функции периодичны, имея бесконечное число решений в диапазоне значений.